办理护工证的机构通常由国家卫生健康委员会或其下属的相关机构负责，这些机构主要负责制定和实施相关的政策、标准和管理措施，以确保护工行业的健康、有序发展。

国家卫生健康委员会是负责全国医疗卫生工作的主管部门，它对护工行业有着全面和深入的了解，该机构会负责制定和执行关于护工行业的各项规定和标准，包括护工证的申请、审核、发放等环节。

各地的卫生行政部门也会承担一定的责任，它们会根据国家卫生健康委员会的规定，结合本地区的实际情况，制定具体的实施细则和管理措施，一些地方可能会设立专门的护工管理机构，或者在卫生局内设立专门的科室来负责护工证的管理工作。

还有一些专业的培训机构和行业协会也会参与到护工证的办理过程中，这些机构通常会提供相关的培训课程和考试服务，帮助护工提高专业技能和知识水平，以满足申请护工证的要求，它们也会参与护工证的发放和管理，确保护工证的有效使用和监管。

办理护工证的机构主要包括国家卫生健康委员会及其下属的相关部门、各地的卫生行政部门以及专业培训机构和行业协会，这些机构各自承担着不同的职责和任务，共同保障了护工行业的健康发展和服务质量的提升。