家庭教育指导师证书的颁发部门通常由国家或地方政府相关部门负责，这个职责主要由中国国家教育咨询委员会、教育部以及人力资源和社会保障部联合承担。

1、中国国家教育咨询委员会：该委员会主要负责全国的教育政策制定和咨询工作，包括教育改革、教育质量提升等，家庭教育指导师证书的颁发工作，可能会由中国国家教育咨询委员会下属的相关机构来执行。

2、教育部：作为国家的教育主管部门，教育部负责全国范围内的教育管理工作，包括教师资格认定、学历教育、非学历教育等，家庭教育指导师证书的颁发，可能也会由教育部下属的相关机构来负责。

3、人力资源和社会保障部：人力资源和社会保障部负责全国范围内的就业、职业培训等工作，其中也可能涉及到对家庭教育指导师的培训、考核和认证工作。

4、地方教育部门：在国家层面之外，各个省市自治区的教育部门也负责本区域内的教育管理工作，包括地方性的职业资格认证、教育培训等工作，地方教育部门也可能是家庭教育指导师证书的颁发部门之一。

5、专业培训机构：一些专业的家庭教育指导师培训机构，如中国家庭教育学会等，也可能参与到家庭教育指导师证书的颁发工作中，这些机构通常会与政府部门合作，提供相关的培训课程和考试服务。

6、行业协会：一些行业协会也可能参与到家庭教育指导师证书的颁发工作中，中国心理学会家庭教育专业委员会等，它们可能会组织相关的培训和考试活动，并协助政府部门进行证书的颁发。

家庭教育指导师证书的颁发是由多个部门共同参与的，包括国家层面的教育咨询委员会、教育部、人力资源和社会保障部，以及地方教育部门和专业培训机构等多个主体，这些部门会根据国家相关政策和规定，共同负责家庭教育指导师证书的颁发工作。